ECUACIONES EXPONENCIALES

Recuerda que las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en algún exponente. Vamos a estudiar tres casos distintos. En cada uno de ellos hay ejemplos resueltos, ejercicios para practicar y al final hay más ejercicios de los tres casos mezclados para estudiar el examen

Caso 1: Se escriben los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base y se igualan los exponentes

Ejemplos resueltos. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de ver las soluciones.

1.    2x = 32 2.    2x − 5 = 59 3.    4x = 64

5.    3x+1 − 3x = 18 6.    3 · 2x+2 − 5 · 2x = 56 7.    2x+3 + 2x = 72

        4. 3^x+1 = 81                                                          

Soluciones

1.    2^x = 32 ⇒ 2^x = 2⁵ ⇒ x = 5

2.    2^x − 5 = 59 ⇒ 2^x = 59 + 5 ⇒ 2^x = 64 ⇒ 2^x = 2⁶ ⇒ x = 6

3.    4^x = 64 ⇒ (2²)^x = 2⁶ ⇒ 2^2x = 2⁶ ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

4.    3^x+1 = 81 ⇒ 3^x+1 = 3⁴ ⇒ x + 1 = 4 ⇒ x = 3

5.    3^x+1 − 3^x = 18 ⇒ 3 · 3^x − 3^x = 18 ⇒ 2 · 3^x = 18 ⇒ 3^x = 9 ⇒ x = 2

6.    3 · 2^x+2 − 5 · 2^x = 56 ⇒ 3 · 2² · 2^x − 5 · 2^x = 56 ⇒ 12 · 2^x − 5 · 2^x = 56 ⇒ 7 · 2^x = 56 ⇒ 2^x = 8 ⇒ x = 3

7.    2^x+3 + 2^x = 72 ⇒ 2³ · 2^x + 2^x = 72 ⇒ 8 · 2^x + 2^x = 72 ⇒ 9 · 2^x = 72 ⇒ 2^x = 8 ⇒ x = 3

Ejercicios para practicar

1.    3^x = 27  7. 2^x2−1 = 8

2.    7^x+1 = 1  8. 3^x · 9^x = 9³

3.    5^x−1 = 25

5.11. 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39

       6. 6^2x = 1296                                                           12. 2^x+1 + 2^x + 2^x−1 = 28

Caso 2: Realizamos un cambio de variable para reducir la ecuación a otra de segundo grado. Hallamos la solución para la nueva variable y por último deshacemos el cambio.

Ejemplos resueltos. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de ver las soluciones.

1. 22x − 5 · 2x + 4 = 0

3. 2x + 21−x = 3

         2. 4^x − 3 · 2^x+1 + 8 = 0                                            

Soluciones

1.    2^2x − 5 · 2^x + 4 = 0 ⇒ (2^x)² − 5 · 2^x + 4 = 0. Hacemos el cambio z = 2^x y obtenemos la ecuación z² − 5z + 4 = 0 ⇒ z₀ = 1,z₁ = 4. Deshacemos el cambio 2^x = 1 ⇒ x = 0 y 2^x = 4 ⇒ x = 2.

2.    4^x − 3 · 2^x+1 + 8 = 0 ⇒ (2²)^x − 3 · 2^x · 2¹ + 8 = 0 ⇒ (2^x)² − 6 · 2^x+1 + 8 = 0. Hacemos el cambio z = 2^x y obtenemos la ecuación z² − 6z + 8 = 0 ⇒ z₀ = 2,z₁ = 4. Deshacemos el cambio 2^x = 2 ⇒ x = 1 y 2^x = 4 ⇒ x = 2.

3.    . Multiplicamos todo por 2^x para obtener (2^x)² +2 = 3·2^x.

Hacemos el cambio z = 2^x, llevamos todos los términos a la izquierda y obtenemos la ecuación z² − 3z + 2 = 0 ⇒ z₀ = 1,z₁ = 2. Deshacemos el cambio 2^x = 1 ⇒ x = 0 y 2^x = 2 ⇒ x = 1.

4.    . Primero transformamos la ecuación en . Multiplicamos todo por 2 · 2^x para obtener (2^x)² + 16 = 10 · 2^x. Hacemos el cambio z = 2^x, llevamos todos los términos a la izquierda y obtenemos la ecuación z² −10z +16 = 0 ⇒ z₀ = 2,z₁ = 8. Deshacemos el cambio 2^x = 2 ⇒ x = 1 y 2^x = 8 ⇒ x = 3.

Ejercicios para practicar

1.    2 · 2x + 4x = 80 2.    5x + 51−x = 6

5.    4x + 25 = 3 · 2x+2 6.    52x−2 − 6 · 5x + 125 = 0

3. 9^x − 6 · 3^x + 81 = 0        4. 1 + 9x = 3x+1 + 3x−1 

Caso 3: No podemos utilizar ninguna de las estrategias anteriores. En este caso, aplicamos logaritmos después de dejar un término en cada lado de la igualdad y despejamos la incógnita. En general necesitaremos la calculadora para hallar el valor de x.

Ejemplos resueltos. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de ver las soluciones.

1.    3x = 2x 2.    3x−1 = 2x

3. 22x = 51−2x 4. 2x · 5x = 20

Soluciones

1.    3^x = 2^x ⇒ log3^x = log2^x ⇒ xlog3 = xlog2 ⇒ xlog3−xlog2 = 0 ⇒ x(log3−log2) = 0 ⇒ x = 0.

4. 2^x · 5^x = 20 ⇒ 10^x = 20 ⇒ log10^x = log20 ⇒ x = log20.

Ejercicios para practicar

1.    4x = 61−x

2.    53x−1 = 31−2x

3.    ex−3 = 2x+1 4. 3^x · 7^x = 22

Ejercicios para estudiar para el examen. Hay ejercicios de los tres casos mezclados

         1. 4x+3 = 82−x                                                                  5. 53x+1 = 25x−5                                                         

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Recuerda que las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como la base o el argumento de un logaritmo. Para resolverlas utilizamos las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en ambos lados de la igualdad nos aparezca un único logaritmo con la misma base e igualamos los argumentos.

Ejemplos resueltos. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de ver las soluciones.

1. logx + log5 = 2

3. (x2 − 4x + 7)log5 + log16 = 4

          2. logx + log(x + 3) = 2log(x + 1)                        

Soluciones

1.    logx + log5 = 2 ⇒ log5x = log10² ⇒ 5x = 100 ⇒ x = 20

2.    logx + log(x + 3) = 2log(x + 1) ⇒ logx(x + 3) = log(x + 1)² ⇒ x(x + 3) = (x + 1)² ⇒ x² + 3x = x² + 2x + 1 ⇒ x = 1

3.    (x² − 4x + 7)log5 + log16 = 4 ⇒ log16 · 5^x2−4x+7 = log10⁴ ⇒ 16 · 5^x2−4x+7 = 10⁴ ⇒

5^x2−4x+7 = 5⁴ ⇒ x² − 4x + 7 = 4 ⇒ x² − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1,x = 3

Ejercicios para practicar

1.    logx 16 = 2        7. 2Lx − L5x = L2

2.    logx + log80 = 3          

3.    log(22 − x) = −1 + logx

4.    2Lx + L(x² + 2) = L3

5.    3logx = 2logx + log3

6.    logx² − log3 = logx + log5       

Ejercicios para el examen

2.     log_x 100 − log_x 25 = 2 7.

3.     logx = 1 + log(22 − x) 8. 4. L(2x − 3) + L(5 − x) = L5 9.

5. 2log(5x − 4) − log5 = log(x + 4)

10. log(28 − x3) − 3log(4 − x) = 0

Problema 1 Pag 518 Algebra Baldor Resolver la ecuación  3X = 60 Aplicando logaritmos, tenemos: X(log 3) = log 60 1.778151                x =            =                  3.72=            0.477121 X = 3,72
Problema 2 Pag 518 Algebra Baldor Resolver la ecuación: 52X-1 = 125 Aplicando logaritmos, tenemos: (2X-1)(log 5) = log 125 2.096910               2x -1  =             =   3= 0.698970 2x - 1 = 3 2x = + = 3      1 4 x  = =  2 X =2
Problema 301.1 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 5X = 3 Aplicando logaritmos, tenemos: X (log 5) = log 3 0.477121                x  =         =   0.6826=  0.698970 X = 0,6826
Problema 301.2 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 7X = 512 Aplicando logaritmos, tenemos: X (log 7) = log 512 2.709269                x =              =                 3.205863=  0.845098 X = 3,205863
	2

Problema 301.3 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 0,2X = 0,0016 Aplicando logaritmos, tenemos: X (log 0,2) = log 0,0016 X = 4

Problema 301.4 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 9X = 0,576 Aplicando logaritmos, tenemos: X (log 9) = log 0,576                          log 0.576     -0.239577                 x  =                 =                                                     log 9        0.954242 x   - 0.251065=

Problema 301.5 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 3X+1 = 729 Aplicando logaritmos, tenemos: (X+1) (log 3) = log 729                  log 729    2.862727 X + =1   =               6=                     log 3       0.477121       x  6 - 1  5=     = X = 5

Problema 301.6 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 5x-2  625= Aplicando logaritmos x - 2 (log 5)  log 625=                                        2.795880         x - 2  =               = = 4 0.698970 x = +4 2 x = 6

3

Problema 301.7 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 23X+1=128 Aplicando  logaritmos 3x +1 (log 2) = log 128 2.107209 3x + =1               = = 7 0.301029 3x + =1               7 3X = − =7 1               6 x = = 2

Problema 301.8 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones 32x-1 = 2187 Aplicando   logaritmos 2x -1 (log 3)  log = 2187 3.339884 2x -1=              = = 7 0.477121 2x -1= 7 2x = + =7 1               8 x = = 4

Problema 301.9 Algebra Baldor  (Pagina 519) Resolver las ecuaciones               112x = 915 Aplicando  logaritmos 2x (log 11) = log 915                      2.961421 2x =            = = 2.843713 1.041392 2.843713 x = =1.42185 2

ECUACIONES EXPONENCIALES Y ECUACIONES LOGARITMICAS

Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo   5^3-x = 5³   y del tipo   10^1-x = 30   utilizando logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmo y cambio de base.

Ejemplo:  Hallar el valor de  x  en las siguientes ecuaciones exponenciales:

a)         3^x . 5^2x  =  4

Aplicando logaritmo decimal a ambos miembros de la igualdad, obtenemos:

                log  ( 3^x . 5^2x )  =  log  4            log 3^x  +  log 5^2x   =  log  4    x . log 3  +  2 x  log 5  =  log  4  x . 0,477  +  2 x . 0,699 ≅  0,602     x . 0,477  +  x . 1,398  ≅  0,602       x . (0,477  +  1,398)  ≅  0,602                         x . 1,875   ≅  0,602                                     x  ≅  0,321

b)         3^x+1 + 3^x-1  =  2431

                      3^x+1 + 3^x-1   =  2431                  3 .3^x + 3^-1 . 3^x  =  2431

                    3^{x  }3  + ^1 =  2431

                                                          3

                          3^x  .  =  2431

                                  3^x   =  729,3

                          x  log 3 =  log  729,3                                     x  =                                       x  ≅  6,0003

c)         3^2x  -  4 . 3^x+1  =  -27

    (3^x)²  -  4 . 3 . 3^x  +  27 = 0

Si    z = 3^x   reemplazando en la ecuación, obtenemos   

                  z² - 12 z + 27   =  0                      

las raíces de esta ecuación son   z₁ = 9  ,  z₂ = 3  . 

Por lo tanto   3^x = 9   ⇒  x = 2       y     3^x = 3   ⇒  x = 1

d)         25^x  +  5^x  =  20

                       25^x  +  5^x   =  20

                      (5^x)² +  5^x   =  20

Si    z = 5^x  

                      z² +  z - 20  =  0 

Raíces de la ecuación cuadrática:    z₁ = 4  ,  z₂ = -5  . 

         Luego           5^x = 4   ⇒  x log 5 = log 4   ⇒    x  ≅  0,8613

Si consideramos    5x = -5  ,  vemos que no hay valores de  x  que cumpla la ecuación, pues ninguna potencia de  5  puede ser negativa.

Ejemplo:  Hallar el valor de  x  en las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a)         log₅ 4 x =  2

                          log₅ 4 x  =  2                                   4 x  =  5²                                     x  =   

b)         log₉ (x + 1)  +  log₉ 9 (x + 1)  =  2

      log₉ (x + 1)  +  log₉ 9 (x + 1) =  2                      log₉ 9 (x + 1)²  =  2                             9 (x + 1)²  =  9²

                               (x + 1)²  =  9

                                                                                 x + 1 = 3   ⇒    x₁ = 2

                               x + 1  =  3      

                                                                                 x + 1 = -3  ⇒    x₂ = - 4

Observemos que   log₉ (- 3) = x   ⇔   9^x  = - 3    igualdad que no se verifica para ningún valor de  x.

c)         2 log₂² x  - 10  log₂  x  +  8  =  0

Llamamos   z =  log₂ x  , sustituyendo en la ecuación obtenemos

                                        2 z² - 10 z + 8 = 0

cuyas soluciones son    z₁ = 4   ,   z₂ = 1

                                         log₂ x  = 4   ⇔   x = 2⁴ = 16

                                        log₂ x  = 1   ⇔   x = 2¹ = 2

d)         3 log₂ x - 2 log₄ x  =  2

Necesitamos que todos los logaritmos involucrados en esta ecuación estén expresados en la misma base. Expresamos todos los logaritmos en base 2.

                        log₄ x  =  y    ⇔   x  =  4^y   

                                  log₂ x   =  y log₂ 4                                  log₂ x   =  y . 2                                          y =  log₂ x  

Reemplazando en la ecuación obtenemos

                 3 log₂ x -  log₂ x  =  2                               2 log₂ x   =  2                                  log₂ x =  1                                          x = 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio 8 : La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo  t = 0 , esta población es de  100000 habitantes. Dar una fórmula para la población   P(t)  como función del tiempo  t. ¿Cuál es la población después de

a)      100 años?

b)     150 años?

c)      200 años?

Ejercicio 9 : Las bacterias en una solución se duplican cada 3 minutos. Si hay  10⁴  bacterias al comienzo, dar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo  t  . ¿Cuántas bacterias hay después de

a)      3  minutos?

b)     27  minutos?

c)      1  hora?

Ejercicio 10 : Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento   -0,02 t   . f (t)  después de un tiempo  t  satisface la fórmula     f (t) = 60 . 2

a)      ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso?

b)     ¿Qué cantidad queda después de  500  años?

c)      ¿Qué cantidad queda después de  1000 años?

d)     ¿Qué cantidad queda después de  2000 años?.

Ejercicio 11 : Graficar las siguientes funciones.

a)      y  =  3 . 2^x   

b)     y  =  3^x - 2

c)      y  =  - 3^x   

  

Ejercicio 12 : Resolver aplicando la definición de logaritmo.

a)      log₅ 25  +  log₂  

b)      log 1000  -   log_1/2  1 

c)      log₇² 49  -  log₂ 16

d)      

log₂            2  +  log₃ ³ 3⁴ - log 0,001

e)      log₃ 27  +  log_1/2  4  -  2 log_1/3   

Ejercicio 13 : Sabiendo que    log₂ 5  ≅ 2,3  ,  calcular aplicando las propiedades del logaritmo.

a)      log₂ 10

b)     log₂ 2,5

c)      

log₂             5 

d)     log₂ 25

Ejercicio 14 : Calcular realizando cambio de base

a)      log₂ 10

b)     log₅  2

c)      log_1/2 20

d)     log₄ 0,1

Ejercicio 15 : Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a)        log x  =  3 log 2

b)       log x  -  log 3  =  2

c)        5 log x  -  log 32  =  log ^x 2

d)       2 log x  =  _log ^x - ³

                                                   2     5

e)        log 10  =  5  -  3  log x  

f)        

log 3 21x + -  210x2                    =  2

g)        10 log ₅ x  -  5 log ₅ x  + 5  =  0

h)       log ₃ x²  +  log ₃ x  - 6  =  0

i)         ln  x  -  ln  x³  =  8

j)         log₂² x  -  5 log ₂ x  =  0

Ejercicio 16 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a)       4 . 3^x  - 4  =  0

b)       3 . 4^x  + 6  =  0

c)       e^2x  -  e^x  - 6  =  0

d)       2^x  - 2^2-x  =  0

e)       3^2x  + 9^x  =  192

f)        2^x  + 4^x  =  72

g)       3x  3+-  x3-x  =  17 . 3x-1

h)       5^x  + 5^1-x  =  5

i)         e^2x  - 5 (e^x - e) - e^x+1 =  0

j)         

^x 3^x+6 -  ^x-1 3^x  =  0

Ejercicio 17 : Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula   r(t)  =  c e^{-7 t}    donde  c  es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

Ejercicio 18 : Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula     B(t) =  c e ^kt    donde  c  y  k  son constantes y  B(t)  representa el número de bacterias en función del tiempo. En el instante       t = 0  hay  10⁶ bacterias. ¿En cuánto tiempo habrá  10⁷ bacterias, si en 12 minutos hay  2 . 10⁶ bacterias?.

Ejercicio 19 : En 1900 la población de una ciudad era de  50000 habitantes. En 1950 había 100000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula      P(t) =  c e ^kt    donde  c  y  k  son constantes. ¿Cuál fue la población en 1984?. ¿En  qué año la población es de 200000 habitantes?.

Ejercicio 20 : La presión atmosférica como función de la altura está dada por la fórmula               

P(h) = c e^kh    donde  c  y  k  son constantes,  h  es la altura y  P(h)  es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 10000 pies.

Ejercicio 21 : El azúcar se descompone en el agua según la fórmula     A(t) =  c e ^-kt    donde  c  y  k  son constantes. Si  30  kilos de azúcar se reducen a 10 kilos en 4 horas, ¿cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar?.

Ejercicio 22 : Una partícula se mueve con velocidad     S(t) =  c e^-kt    donde  c  y  k  son constantes. Si la velocidad inicial en  t = 0  es de 16 unidades por minuto, y en 2 minutos se reduce a la mitad, hallar el valor de  t  cuando la velocidades de 10 unidades/minuto.

Ejercicio 23 : ¿Qué relación debe existir entre   a   y   b   para que se verifique que                       log a  +  log b  =  0  ?.